SISTEMAS CONTINUOS
Definición de sistema continuo:
Un sistema dinámico es un sistema complejo que presenta un cambio o evolución de su estado en un tiempo, el comportamiento en dicho estado se puede caracterizar determinando los límites del sistema, los elementos y sus relaciones; de esta forma se puede elaborar modelos que buscan representar la estructura del mismo sistema.
Al definir los límites del sistema se hace, en primer lugar, una selección de aquellos componentes que contribuyan a generar los modos de comportamiento, y luego se determina el espacio donde se llevará a cabo el estudio, omitiendo toda clase de aspectos irrelevantes.
Señal continua:
Una señal continua es una señal "suave" que está definida para todos los puntos de un intervalo determinado del conjunto de los números reales. Por ejemplo, la función seno es un ejemplo continuo, como la función exponencial o la función constante. Una parte de la función seno en el rango de tiempos de 0 a 6 segundos también es continua. Si deseamos ejemplos de la naturaleza tenemos la corriente, el voltaje, el sonido, la luz, etc.
Una señal continua o señal en el tiempo-discreto es también una señal que puede expresarse como una función cuyo dominio se encuentra en el conjunto de los números reales, y normalmente es el tiempo. La función del tiempo no tiene que ser necesariamente una función continua.
La señal es definida sobre un dominio que puede ser o no finito, sobre el cual a cada posible valor del dominio le corresponde un único valor de la señal. La continuidad de la variable del tiempo implica que el valor de la señal puede precisarse para cualquier punto arbitrario del tiempo perteneciente al dominio.
Figura 8. Ejemplo de señal continua
Antes de comenzar a explicar el contenido de la segunda unidad que abarca los sistemas continuos y sus aplicaciones con la transformada de laplace e inversa de laplace es importante conocer la simbología que se trabajará.
Para este tutorial se tomarán los siguientes símbolos:
L= transformada de Laplace
L-1 = Transformada inversa de Laplace
Ÿ= Segunda derivada
Ý Primera derivada
Puesto que en el análisis y diseño de sistemas continuos y su simulación, se requiere la transformada de laplace y su inversa, es por esto que se estudiará en esta unidad conceptos básicos y herramientas básicas utilizadas en simulación y control continuo.
TRANSFORMADA DE LAPLACE
Es la más conocida y utilizada de las transformadas integrales. Se ha mostrado de una gran utilidad a la hora de resolver multitud e problemas de la ciencia y tecnología, aplicándose de manera efectiva al estudio de tema fundamentales como teoría de vibraciones, circuitos electrónicos, búsqueda de soluciones de ecuaciones en derivadas parciales, estudio de la conductividad del calor, ecuación de onda, soluciones de problemas de valor de frontera, etc.
La Transformada de Laplace de una función f(t) definida (en matemáticas y, en particular, en análisis funcional) para todos los números reales t ≥ 0, es la función F(s), definida por:
Siempre y cuando la integral esté definida.
Esta transformada integral tiene una serie de propiedades que la hacen útil en el análisis de sistemas lineales. Una de las ventajas más significativas radica en que la integración y derivación se convierten en multiplicación y división. Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones polinómicas, mucho más fáciles de resolver.
Otra aplicación importante en los sistemas lineales es el cálculo de la señal de salida. Ésta se puede calcular mediante la convolución de la respuesta impulsiva del sistema con la señal de entrada. La realización de este cálculo en el espacio de Laplace convierte la convolución en una multiplicación, habitualmente más sencilla.
La transformada de Laplace toma su nombre en honor de Pierre-Simon Laplace.
La transformada de Laplace es al tiempo continuo lo que la transformada de Z es al discreto
Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:
La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).
SEÑALES BASICAS Y SU TRANFORMADA DE LAPLACE
- IMPULSO UNITARIO:
La función impulso es más un concepto matemático que una función, que se define de la siguiente manera:
La función es cero para cualquier valor de t, excepto cero.
- Cuando la t es cero el valor de la función es infinito
- Por definición el área de esta función es igual a uno
- ESCALON UNITARIO:
La función escalón unitario se define como la integral de la función impulso desde el infinito negativo hasta el tiempo. la integral de la función impulso es 0 si el tiempo t es menor que 0, y 1 si el tiempo t es mayor que se define exactamente el escalón unitario.
El tipo de escalón unitario corresponde a una salida. El valor de la función en t=0, es indefinido. Otros textos lo pueden definir como 1 o 0. Así pues ésta nos representa la corriente continua disipada en nuestro dispositivo.
Función Escalón Unitario o Heaviside
En el caso de la función escalón, físicamente representa un cambio instantáneo que se produce a t=0, es una suposición el hecho de representar una función con tiempos negativos (lo cual no existe), en cambio sirve para representar el caso de un interruptor que permanece abierto hasta que en un instante se cierra, estableciendo el máximo voltaje a una carga.
3. Función Rampa:
La función rampa es la integral de la función escalón. Si consideramos que estamos sumando toda el área bajo la función escalón a hasta un tiempo t. Si t < 0 (cero), el valor de la integral será 0 (cero). Si es mayor que 0 (cero), entonces el valor será igual a la integral de 1 desde el tiempo 0 hasta el tiempo t, la cual también tiene el valor t, es decir:
TEOREMA DE EULER
FUNCION COSENOIDAL
Esta es una gráfica análoga puesto que sus valores oscilan en una rama de opciones prácticamente infinitas, así pues podemos ver en la imagen (Figura 9)
Que la onda describe una curva continua, de hecho esta onda es la grafica de la función matemática del coseno.
Figura 9
PROPIEDADES Y TEOREMAS DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
- TEOREMA DE TRASLACION DE UNA FUNCION
(Función desplazamiento en el tiempo)
EJEMPLOS
Hallar la transformada de laplace por tabla y por propiedades de
- L[e-2tsen5t]
Modelo matemático de un sistema continuo, ecuación diferencial de 2do orden
- ÿ+2ý+y=u(t)
Hallar la transformada de laplace de y(s)
- Si f(t)=1-e-t
Hallar el valor inicial y el valor final, f(o) y f (∞)
