MODELAMIENTO DE SISTEMAS

 

 

INTRODUCCION AL MODELAMIENTO DE SISTEMAS

 

El estudio de la teoría de control requiere conocer los procedimientos utilizados para obtener modelos matemáticos de los sistemas dinámicos. El modelo matemático de cualquier sistema es un conjunto de ecuaciones que describe el comportamiento de cualquier variable que influya en él, por ejemplo, voltajes o corrientes en un circuito eléctrico.

La dinámica de los sistemas se describe con ecuaciones diferenciales que se obtienen a partir de las ecuaciones de equilibrio que rigen su comportamiento (esto es, Leyes de Kirchhoff para sistemas eléctricos, de A'lembert para sistemas mecánicos, etc). Si se necesita conocer cómo es el comportamiento en el tiempo de cualquier variable del sistema, se tendría que resolver dichas ecuaciones diferenciales, las cuales se pueden complicar de acuerdo al orden de nuestro sistema. Como consecuencia, muchas veces se tendrían que resolver sistemas de ecuaciones diferenciales, una tarea nada fácil de hacer.

Ante este problema surgieron los métodos gráficos que utilizan la transformada de Laplace para convertir las ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas en el dominio de una variable compleja 's'. Una vez obtenidas las ecuaciones diferenciales del sistema se transforman al dominio de Laplace y se construye su diagrama de flujo o si se prefiere, su diagrama de bloques. Posteriormente, se obtiene la Función de Transferencia del sistema y se sustituye la función de entrada por su correspondiente transformada de Laplace. Finalmente, se utiliza la Transformada inversa para regresar al dominio del tiempo y obtener de esta manera, la solución del problema.

Un modelo matemático se define como una descripción desde el punto de vista de las matemáticas de un hecho o fenómeno del mundo real, desde el tamaño de la población, hasta fenómenos físicos como la velocidad, aceleración o densidad. El objetivo del modelo matemático es entender ampliamente el fenómeno y tal vez predecir su comportamiento en el futuro.
El proceso para elaborar un modelo matemático es el siguiente:

1. Encontrar un problema del mundo real
2. Formular un modelo matemático acerca del problema, identificando variables (dependientes e independientes) y estableciendo hipótesis lo suficientemente simples para tratarse de manera matemática.
3. Aplicar los conocimientos matemáticos que se posee para llegar a conclusiones matemáticas.
4. Comparar los datos obtenidos como predicciones con datos reales. Si los datos son diferentes, se reinicia el proceso.

Es importante mencionar que un modelo matemático no es completamente exacto con problemas de la vida real, de hecho, se trata de una idealización.
Hay una gran cantidad de funciones que representan relaciones observadas en el mundo real; las cuales se analizarán en los párrafos siguientes, tanto algebraicamente como gráficamente.

 

CLASIFICACION DE LOS MODELOS MATEMATICOS

Se podría decir que un modelo de las ciencias físicas es una traducción de la realidad física de un sistema en términos matemáticos, es decir, una forma de representar cada uno de los tipos entidades que intervienen en un cierto proceso físico mediante objetos matemáticos. Las relaciones matemáticas formales entre los objetos del modelo, deben representar de alguna manera las relaciones reales existentes entre las diferentes entidades o aspectos del sistema u objeto real. Así una vez "traducido" o "representado" cierto problema en forma de modelo matemático, se pueden aplicar el cálculo, el álgebra y otras herramientas matemáticas para deducir el comportamiento del sistema bajo estudio. Un modelo físico requerirá por tanto que se pueda seguir el camino inverso al modelado, permitiendo reinterpretar en la realidad las predicciones del modelo. Los modelos matemáticos pueden clasificarse de la siguiente manera:

• Determinista. Se conoce de manera puntual la forma del resultado ya que no hay incertidumbre. Además, los datos utilizados para alimentar el modelo son completamente conocidos y determinados.
• Estocástico. Probabilístico, que no se conoce el resultado esperado, sino su probabilidad y existe por tanto incertidumbre.

Además con respecto a la función del origen de la información utilizada para construirlos los modelos pueden clasificarse de otras formas. Podemos distinguir entre modelos heurísticos y modelos empíricos:

• Modelos heurísticos (del griego euriskein 'hallar, inventar'). Son los que están basados en las explicaciones sobre las causas o mecanismos naturales que dan lugar al fenómeno estudiado.
• Modelos empíricos (del griego empeirikos relativo a la 'experiencia'). Son los que utilizan las observaciones directas o los resultados de experimentos del fenómeno estudiado.

Además los modelos matemáticos encuentran distintas denominaciones en sus diversas aplicaciones. A continuación veremos algunos tipos en los que se puede adecuar algún modelo matemático de interés. Según su campo de aplicación los modelos:

• Modelos conceptuales. Son los que reproducen mediante fórmulas y algoritmos matemáticos más o menos complejos los procesos físicos que se producen en la naturaleza
• Modelo matemático de optimización. Los modelos matemáticos de optimización son ampliamente utilizados en diversas ramas de la ingeniería para resolver problemas que por su naturaleza son indeterminados, es decir presentan más de una solución posible.

 

 

Modelos matemáticos de sistemas mecánicos

 

 

Los sistemas mecánicos son una parte fundamental de la vida común, ya que cualquier cuerpo físico se comporta como tal. En general los sistemas mecánicos son gobernados por la segunda ley de Newton, la cual establece para sistemas mecánicos de traslación que "la suma de fuerzas en un sistema, sean estas aplicadas o reactivas, igualan a la masa por la aceleración a que esta sometida dicha masa".

FUNCION DE TRANSFERENCIA

 

Una función de transferencia es un modelo matemático que a través de un cociente relaciona la respuesta de un sistema (modelada) a una señal de entrada o excitación (también modelada).

El cociente formado por los modelos de la señal de salida respecto de la señal de entrada, permite encontrar los ceros y los polos, respectivamente. Y que representan las raíces en las que cada uno de los modelos del cociente se iguala a cero. Es decir, representa la región frontera a la que no debe llegar ya sea la respuesta del sistema o la excitación al mismo; ya que de lo contrario llegará ya sea a la región nula o se irá al infinito, respectivamente.

Considerando la temporalidad; es decir, que la excitación al sistema tarda un tiempo en generar sus efectos en el sistema en cuestión y que éste tarda otro tiempo en dar respuesta. Esta condición es vista a través de un proceso de convolución, formado por la excitación de entrada convolucionada con el sistema considerado, dando como resultado, la respuesta dentro de un intervalo de tiempo. Ahora, en ese sentido (el de la convolución), se tiene que observar que la función de transferencia está formada por la deconvolución entre la señal de entrada con el sistema. Dando como resultado la descripción externa de la operación del sistema considerado. De forma que el proceso de contar con la función de transferencia del sistema a través de la deconvolución, se logra de forma matricial o vectorial, considerando la seudo inversa de la matriz o vector de entrada multiplicado por el vector de salida, para describir el comportamiento del sistema dentro de un intervalo dado. Pareciera un proceso complicado, aunque solo baste ver que la convolución discreta es representada por un producto de una vector o matriz fija respecto de una matriz o vector móvil, o que en forma tradicional se observa como una sumatoria.

Uno de los primeros matemáticos en describir estos modelos fue Laplace, a través de su transformación matemática.

ELABORACION DE MODELOS (MODELADO)

 

 

Elaboración de modelos matemáticos (modelado matemático). Al aplicar las leyes físicas a un sistema específico, es posible desarrollar un modelo matemático que describa al sistema. Tal sistema puede incluir parámetros desconocidos, los cuales deben evaluarse mediante pruebas  reales. Sin embargo, algunas veces las leyes físicas que gobiernan el comportamiento de un sistema no están completamente definidas y la formulación de un modelo matemático puede resultar imposible. De ser así, se puede utilizar un procedimiento de modelado experimental. En este procedimiento, se somete al sistema a un conjunto de entradas conocidas y se miden sus salidas. A partir de las relaciones de entrada y salida se deriva entonces el modelo matemático.

 

Observaciones sobre la elaboración de modelos matemáticos. Ningún modelo matemático puede representar cualquier componente o sistema físico con precisión. Siempre se involucran aproximaciones y suposiciones. Tales aproximaciones y suposiciones restringen el nivel de validez del modelo matemático. El grado de aproximación puede determinarse solamente mediante experimentos). Así pues, al hacer una predicción acerca del funcionamiento del sistema, debe tenerse presente cualquier aproximación o suposición involucrada en el modelo.

 

Procedimiento para la elaboración de modelos matemáticos. El procedimiento para obtener un modelo matemático de un sistema puede resumirse como sigue.

 

1. Dibujar un diagrama esquemático del sistema y definir variables.
2. Utilizando leyes físicas, escribir ecuaciones para cada componente, combinándolos de acuerdo con el diagrama del sistema y obtener un modelo matemático.
3. Para verificar la validez del modelo, la predicción acerca del funcionamiento obtenida al resolver las ecuaciones del modelo, se compara con resultados experimentales. Si los resultados experimentales se alejan de la predicción en forma considerable, debe modificarse el modelo. Entonces se obtiene un nuevo modelo y las nuevas predicciones se comparan con los resultados experimentales. El proceso se repite hasta que se obtiene una concordancia satisfactoria entre la predicción y los resultados experimentales.

 

Para cualquier sistema mecánico se puede desarrollar un modelo matemático, aplicando al sistema de leyes de newton. En el modelo matemático de sistemas mecánicos pueden necesitarse tres tipos de elementos básicos: elemento de inercia, de resorte y elementos amortiguadores.

 

Elementos de inercia. Por elementos de inercia se entienden las masas y los momentos de inercia. La inercia puede definirse como el cambio en fuerza (par) requerido para producir un cambio unitario en la aceleración (aceleración angular). Esto es,

 

Elementos de un resorte. Un resorte lineal es un elemento mecánico que puede ser deformado por una fuerza externa tal que la deformación sea directamente proporcional a la fuerza o par que se le aplique.

 La figura 10 es un diagrama esquemático de un resorte. Aquí se considera solamente el movimiento trasnacional. El resorte ha sido deflecado de su posición original por una fuerza aplicada en cada extremo. Las posiciones x1 y x2 de los extremos del resorte se han medido en relación con el mismo marco de referencia. Las fuerzas en ambos extremos del resorte están en la misma línea y son de igual magnitud. Por  lo tanto, la fuerza F y el desplazamiento neto x de los extremos del resorte están relacionados por

F=kx=k(x₁-x₂) 

Donde k es una constante de proporcionalidad llamada constante del resorte. La dimensión de la constante del resorte k  es fuerza/desplazamiento.

En el movimiento rotacional, el par aplicado a los extremos de un resorte de torsión o rotacional y el cambio neto en el desplazamiento angular de los extremos están relacionados por

 T=k0=k (0₁-0₂)

 Donde

 T= par aplicado a los extremos del resorte de torsión

0₁ = desplazamiento angular de un extremo

0₂ = desplazamiento angular en el otro extremo

0=0₁-0₂= desplazamiento angular neto de los extremos

K= constante del resorte e torsión.

 La dimensión de la constante del resorte de torsión k es par/desplazamiento angular, donde el desplazamiento angular se mide en radianes.

Curvas características de fuerza-desplazamiento de resortes lineales y no lineales

  Cuando se estira un resorte lineal, se alcanza un punto en el cual la fuerza por desplazamiento unitario empieza a cambiar y  el resorte viene a ser un resorte no lineal. Si se le estira aún más, se alcanza un punto en que el material se rompe o cede. En resortes prácticos, por lo tanto, la suposición de linealidad puede estar bien solo para desplazamientos netos relativamente pequeños.