SIMULACIÓN DE SISTEMAS DIGITALES O DISCRETOS

En las matemáticas requeridas para el procesamiento de señales, la Transformada Z convierte una señal que esté definida en el dominio del tiempo discreto (que es una secuencia de números reales) en una representación en el dominio de la frecuencia compleja.

El nombre de Transformada Z procede de la variable del dominio, al igual que se podría llamar "Transformada S" a la Transformada de Laplace. Un nombre más adecuado para la TZ podría haber sido "Transformada de Laurent", ya que está basada en la serie de Laurent. La transformada z es a las señales de tiempo discreto lo mismo que Laplace a las señales de tiempo continuo.

 Definición

La transformada z, al igual que otras transformaciones integrales, puede ser definida como una transformada unilateral o bilateral.

Transformada Z bilateral

La TZ bilateral de una señal definida en el dominio del tiempo discreto x[n] es una función X(z) que se define

Donde n es un entero y se toma como constante (k) y z es, en general, un número complejo de la forma

z = Ae^jω

Donde A es el módulo de z, y ω es la frecuencia (o ángulo en radianes).

Transformada Z unilateral

De forma alternativa, en los casos en que x[n] está definida únicamente para n ≥ 0, la transformada Z unilateral se define como

En el procesamiento de señales, se usa esta definición cuando la señal es causal. En este caso, la Transformada Z resulta una serie de Laurent, con ROC del tipo | z | > R; es decir que converge "hacia afuera".

Un ejemplo interesante de la TZ unilateral es la función de generación de probabilidades, donde x[n] es la probabilidad que toma una variable discreta aleatoria en el instante n, y la función X(z) suele escribirse como X(s), ya que s = z⁻¹. Las propiedades de las transformadas Z son útiles en la teoría de la probabilidad.

 

Transformada Z inversa

EJEMPLO DE LA TRANSFORMADA Z Y Z INVERSA

 

 

Métodos:

 

Inspección

División Larga

Fracciones Parciales

Computacional

 

1. Por Inspección

 

Dada H (z) = 3z/ (z-3)2 hallar h (k)=?

 

h (k)= z-1[H(z)]

 

H (z)= 3z-1

         (1-3z-1)2

 

h (k)= k3k-1 =3kk-1

 

 

2. División Larga

 

Propiedades de la Región de Convergencia:

La región de convergencia tiene propiedades que dependen de las características de la señal, x[n].

• La ROC no tiene que contener algún polo.Por definición un polo es donde x[z] es infinito. Ya que x[z] tiene que ser finita para todas las z para tener convergencia, no puede existir ningún polo para ROC.

• Si x[n] es una secuencia de duración finita, entonces la ROC es todo el plano-z, excepto en |z|=0 o |z|=∞.

• Si x[n] es una secuencia del lado derecho entonces la ROC se extiende hacia fuera en el ultimo polo desde x[z].

• Si x[n] es una secuencia del lado izquierdo, entonces la ROC se extiende hacia dentro desde el polo mas cercano en x[z].

• Si x[n] es una secuencia con dos lados, la ROC va ser un anillo en el plano-z que esta restringida en su interior y exterior por un polo.

Ejemplo 1 (Sin ROC)

En este caso la ROC es el plano complejo exterior al círculo de radio 0,5 con origen en el centro.

Ejemplo 3 (ROC anticausal)

 

 

EJERCICIOS DE TRANSFORMADA Z

 

A continuación se mostrarán ejercicios aplicados con transformada z y transformada inversa de z

1. Calcular la transformada  z  y la ROC de: