TEORIA MODERNA DE CONTROL
La aplicación del computador en el control de procesos supone un salto tecnológico enorme que se traduce en la implantación de nuevos sistemas de control en el entorno Industria y posibilita el desarrollo de la navegación espacial. Desde el punto de vista de la aplicación de las teorías de control automático el computador no esta limitado a emular el cálculo realizado en los reguladores analógicos El computador permite la implantación de avanzados algoritmos de control mucho más complejos como pueden ser el control óptimo o el control adaptativo. El objetivo en un principio era sustituir y mejorar los reguladores analógicos, pero este objetivo se fue ampliando dada las capacidades de los computadores en realizar un control integral de las plantas de fabricación, englobando también la gestión de la producción.
2. T.M.C
En este caso partimos del modelo matemático del sistema anterior
Y’’+4y’+3y = u (t)
Definimos las variables del estado VE X’S. Un sistema tendrá tantas VE como el orden del sistema (Orden del MM).
En este caso R=2.
Para este problema X1 y X2 x= X1
X2
Definición de las variables de estado VE
X1= y la posición del bloque X’1=y’
X2=y’ la velocidad del bloque X’2=y’’
X’1=X2 y’’ = -3y-4y’+u (t)
X’2=y’’ y’’ = -3X1-4X2+ u (t)
Se observa lo siguiente,
X’1 = X2
X’2 = -3X1-4X2+ u (t)
DIAGRAMA DE BLOQUES CON INTEGRADORES
Estos diagramas nos muestran el flujo de la información del sistema. Lo que implica una mejor visualización para su simulación y/o control
Ejemplo:
1. Hallar el diagrama de bloques con integradores del siguiente sistema:
Y’’’+4y’’+y’-6y= 4u
Hay tantas integraciones como orden del sistema.
Por el primer método
REPRESENTACION EN ESPACIO DE ESTADOS DE SISTEMAS CONTINUOS
La representación espacio-estado es una forma práctica de describir sistemas dinámicos lineales invariantes.
Estado de un sistema. Es el conjunto mínimo de variables tales que conocidos todos sus valores en el tiempo t0, la definición matemática del modelo y la función de entrada para el intervalo de tiempo [t0, t], se puede determinar en forma única la salida para dicho intervalo. El estado de un sistema puede ser visto como la memoria del sistema. Estas variables se conocen como variables de estado.
Vector de estado: Es el vector columna conformado por las variables de estado del modelo para un tiempo t. Estas variables describen el llamado espacio del estado del modelo.
Dada una ecuación diferencial lineal invariante (Ver ecuación (2.1)) es posible obtener una representación matemática denominada, representación espacio-estado, de la forma:
Es posible, para un mismo sistema, obtener diferentes representaciones en el espacio del estado. Se puede asumir una definición particular del estado y obtener por sustituciones la representación correspondiente u obtener una de las formas de representación que la teoría de análisis de sistemas ha desarrollado; de los cuales se conoce de antemano la forma general de las matrices A, B, C y D, matrices que caracterizan el sistema en particular y determinan las facilidades o dificultades, para los análisis posteriores y su solución.
Existes diferentes formas de representación espacio-estado según el tipo de modelo:
Para sistemas continuos:
· Primera forma canónica.
· Variable de fase o segunda forma canónica.
· Jordan o programación en paralelo.
Fórmula general de la representación de espacio de estado de un sistema
TMC X’ =AX+ B
REE y = CX + D
MM, Definición de VE, REE, diagrama de bloques con integradores
MM, FP (Fracciones parciales), definición de VE, REE y diagrama de bloques con integradores.
Para encontrar una expresión para el vector de estado X y asi simular o controlar el sistema se presentan 4 casos:
1. Escalar homogéneo
x’ =ax
sx (s) –x(0) = ax (s)
L (s-a) x (s) =x (0)
x (s) = x (0)/(s-a)
L-1 x (t) = x = eat x (0)
2. Vectorial homogéneo
x’ =AX
L sx (s) –x (0) = Ax (s)
(s-A) x (s) =x (0)
(sI – A)X (s) = x (0)
Premultiplicando por (sI-A)-1
X (s) = (sI-A)-1 X (0)
L-1 X (t) = X = L-1 l (sI-A)-1 l X (0)
X (0) = Valor inicial del vector de estado o vector de estado inicial
3. General escalar
X’ = ax+ bu
t
X = eat x(0) + ∫0 e a ( t-a) bu da
4. General vectorial – matricial
X’ =AX + Bu
X = eat x(0) + ∫0 e a ( t-a) bu da
